Cs. Kádár Péter - XXI. századi Diszkónika, 247. Newton és a fizikai modellezés

Egy hangszer vásárlásakor nem arra kéred az eladót, hogy az általad a kezébe nyomott Karlplus-Strong algoritmus szerinti, a visszavert hullámot moduláló szűrő karakterisztikája segítségével válassza ki a neked megfelelő instrumentumot, mert akkor a megriadt kufár hirtelen felindulásból hívná a rohamkocsit.

Az eddig bemutatott szintézismódszerek a hangszer vagy más eszköz keltette hang tulajdonságait – hangerő, hangszín, időbeli folyamat, térbeli helyzet – próbálják utánozni, elektronikus áramkörökre, és számítástechnikai eszközökre átültetni. A "valódi" (mechanikus, akusztikus) hangszerek tervezése máshogy zajlik: a hangszerkészítő nem egy adott hangszínhez készít egy "mechanikai implementációt", hanem különböző anyagok megformázásával, összekapcsolásával ér el adott hangszíneket, hangzásokat. A hang, ami így keletkezik, egyenes következménye a hangszer mechanikai struktúrájának, az azt felépítő anyagok és a közvetítő közeg (levegő) fizikai tulajdonságainak. Ezeket a tulajdonságokat használja ki az előadó, a végső hangzás tehát a hangszer és a játékos kölcsönhatásából jön létre. Vannak hangszerek, amelyek esetén az előadó kevésbé tudja befolyásolni a hangzást, de pl. a hegedű esetében hiába vizsgáljuk a hangszerhang időbeli lefolyását és spektrumának összetevőit, a hangszín finomságai rejtve maradnak. A fizikai modellezés során ezért a valódi vagy elképzelt anyagok fizikai tulajdonságainak, a hangkeltés módjának szimulálásán keresztül jutunk el a létrehozandó hullámformához. Ahhoz, hogy ez működőképes legyen, fel kell tételeznünk, hogy egy hangszer fizikai paraméterei és a hangja között egyértelmű kapcsolat van, és ugyanez a kapcsolat fennáll a fizikai modell és a hang között is. A fizikai modellezés tárgya nemcsak akusztikus, hanem elektrofon hangszer is lehet, sőt, erősítők, effekteszközök, mikrofonok vagy hangsugárzók és helyiségek is utánozhatók fizikai modellezés segítségével.

A legáltalánosabban négy alapvető részből áll a modell.

nfm02

A szintézis által megszólaló hang minősége csak a felépített fizikai modell kidolgozottságától és a modell valósághűségétől függ. Minden egyes modell létrehozása során először megalkotjuk a vizsgált fizikai rendszer viselkedését leíró egyenleteket. Mielőtt rögtön valamilyen nagyon bonyolult matematikai leírásra gondolnál, ideírom azt a formulát, ami az egésznek az alapja a mechanikai rendszerek esetén:

nfm03

Valahonnan biztosan ismerős neked. Ha mégsem emlékszel erre a törvényre, akkor ennek az az oka, hogy ez a klasszikus mechanika Isaac Newton által megfogalmazott második axiómája, s te már az elsőnél nézegetni kezdted a Playboyt a pad alatt. Vagy ha fiatalabb vagy, facebookoztál.

nfm04

Nem, ez nem a vízbe mártott test a súlyából annyit veszt. Az ánégyzet meg bénégyzet az cénégyzet sem nyerő. Arról van szó, hogy ha egy test nyugalomban van, vagy egyenes vonalú, egyenletes mozgást végez, akkor valamilyen erő (F) hatására ez a test, amelynek a tömegét m-mel jelöljük, gyorsulásban (a) tör ki. A gyorsulásnak, más néven a sebesség változásának a mértéke mindaddig ugyanakkora, ameddig az erő nem változik. Ha a testre ható erő változik, a gyorsulás is változik. Ha pl. megpendítesz egy gitárhúrt, az rezegni kezd, de amint elengeded, e rezgés nagysága csökken, mert a súrlódási erő, amely a levegő molekulával való ütközések miatt van, a rezgés ellen hat.

Newton törvényének látszólagos matematikai egyszerűsége azonban nem jelenti azt, hogy a fizikai modellezés a világ legegyszerűbb feladata. A közvetlenül az axiómán alapuló modellek gyorsan olyan algoritmusokat eredményezhetnek, amelyek gyakorlatilag végrehajthatatlanok. Sok és sokféle ügyes további egyszerűsítésre van szükség, olyanokra, amelyek megőrzik a hangminőséget, és lehetővé teszik a vezérlés, az előadói játék kifejező jellegét. Azt viszont joggal kérdezheted, hogy ha ilyen nehézkes a modellezés, akkor az eredeti ketyere, pl. az akusztikus hangszer hogyan tud egyáltalán megszólalni? Úgy, hogy amit modellezünk, az nem modell, hanem önmaga. Éppen arról van szó, hogy az eredeti hangszer tervezésekor használhattak ugyan matematikai leírásokat is – Stradivari egyes hegedűiről pl. maradtak fenn ilyenek –, napjainkban meg igencsak igénybe veszik a matekot új hangszerek tervezéséhez, ám a leírások alapján nem elektronikus áramkörökből építik meg a hangszert, hanem megfelelő anyagokból. Tehát azt ki lehet számolni, hogy milyen formájú, milyen sűrűségű, milyen tömegű anyagokat használjanak, mi legyen a lakkréteg összetétele és milyen vastagságban vigyék azt a hangszer testére, hogyan kapcsolják össze az egyes részeket, hogyan állítsák be a kész szerkezetet, stb., de ettől még a cucc hangkeltése mechanikus marad, és a levegő sem modellezett, hanem igazi.

A fizikai modellre alapuló szintézis nagyon is sok mérnöki és programozói tudást igényel. S ismét az a kérdés, hogy mi indokolja ezt a szintézist, miért nem elég jó például a hangminta alapú szintézis? Azért, mert a többi szintézis módszerrel csak nagyon kezdetleges módon lehet előírni és követni a hang jellemzőt a megszólalástól az elnémulásig. Az eddig dicsőített különböző burkolók valójában elnagyoltan követik az akusztikai folyamatokat, s emiatt e szintézisek eredménye gyakran unalmas hangzást eredményez, amire ráadásul az előadónak alig van hatása. A fizikai modellezés már az első ezen alapuló szintetizátorral, a Yamaha VL-1-gyel bizonyította, hogy más minőségről van szó.

nfm05

A listaáron kb. 10 000 nyugatnémet márkáért vesztegetett hangszert a szaksajtó csodálta. A piacon viszont elbukott, pedig pl. ilyet lehetett vele muzsikálni:

Akkor hát nézzük is meg, mi mindent kell modellezni, és azt is, ami már első körben egyszerűsíthető. A példánk egy általános elektroakusztikus gitár, amin tehát akusztikus gitárként és elektromos gitárként is lehet játszani.

A gitár úgy kezd működni, hogy a hangszer valamelyik húrját vagy húrjait valamelyik érintőnél (bundnál) megfogjuk, és a húrt mozgásba hozzuk. Ezt a mozgásba hozást gerjesztésnek hívjuk, tehát kell valami, ami gerjeszt. A gerjesztő valami lehet közvetlenül az előadó ujjbegye vagy körme. Attól függően, hogy hogyan penget a zenész, pl. csuklóból vagy csak az ujját mozdítja, illetve begörbíti az ujját vagy kiegyenesített ujjal penget, változik a keménység és tompítás mértéke. Ha kímélni akarjuk a kezünket, játszhatunk műanyag pengetővel, időnként hegedűvonóval. Sőt, rá is üthetünk bottal a húrra. Közelről ráfújhatunk a húrokra vagy ismét kézzel sikálhatjuk is. Kihagytam valamit? Igen, össze is törhetjük és föl is gyújthatjuk a gityót, ezen játékmódoknak is van hangjuk. Mindegyik gerjesztés másféle hangot fog csiholni, s ezeket mind-mind modellezni lehet. Azonban nem biztos, hogy kell is, hiszen – hogy egy másik hangszer példájára hivatkozzak – a zongorázáshoz sem tartozik hozzá az a hang, amikor betolják a Steinway-t a színpadra. Én egy gerjesztési módot választottam ki, azt, amikor pengetéssel szólaltatjuk meg a gitárt.

Először azt a folyamatot nézzük meg, ami a pengetést általában jellemzi. A legalapvetőbb paraméterek a pengetés ereje, a pengető tömege, keménysége, tompító hatása, valamint a húr tömege, anyaga, méretei, s a húrban feszülő erő.

A pengető valamilyen kezdősebességgel eléri a húr egy pontját, pontosabban, a húr egy pici részét, amit pontnak tekinthetünk. A pengető csúcsa a saját lendülete miatt haladna tovább, de megakad a húrban, amit így elkezd maga előtt tolni. A húr megnyúlik, ami a húrfeszültség növekedéséhez vezet. Ez az erő igyekszik a húrt visszaállítani a nyugalmi helyzetébe, így ez az erőhatás megjelenik a pengető csúcsán is. A pengető rugalmas testként elhajlik, így egy ellenkező irányú erőt ébreszt. A kezünk tömege nagyságrendekkel nagyobb, mint a húr vagy a pengető, tehát a haladó mozgást alig fékezi a fenti erő. A húrt tovább húzzuk. Mind a húr, mind a pengető megnyúlásának következtében elérünk egy olyan határhelyzetet, ahol a húr által kifejtett erőt a pengető felületén a súrlódás már nem képes ellensúlyozni, így a húr leválik a pengetőről. A leválást – a húr elengedését – szándékosan is előidézhetjük. Ezt követően a húr szabadon rezeg, a megnyúlás miatt felhalmozódó rugalmas energiát felemésztve.

A modellezés során figyelembe kell venni, hogy a húr mely részén pengetjük meg a húrt, és a pengetés módja is nagyon lényeges. A muzsikus sosem ugyanazon a helyen pengeti a húrt, nem mindig ugyanúgy gerjeszt, és a húr elengedésének módja is változik. A kitérítés módjától azonban függ a megszólaló hang karaktere. Alapvetően háromféle módon pengetünk. A rövid, impulzusszerű gerjesztést külföldiül apoyando-nak nevezik. Ha a húrt a nyak felé, merőlegesen mozdítjuk: tapping-nek hívjuk, ha pedig a húrt fokozatosan feszítjük meg, tirandonak becézzük. A húr elengedése gyors, impulzusszerű, illetve fokozatos, lassú lehet.

A húr rezgése csillapodó rezgés, hiszen a levegőben súrlódik, és a gitár többi része is vesz el az energiájából. Első közelítésben harmonikus rezgésről beszélhetünk attól kezdve, hogy a pengető elengedte a húrt. Csakhogy ez akkor lenne igaz, ha a húr vastagsága nulla lenne, és semmilyen más erő nem hatna rá, mint a saját energiájából adódó. Ám a húrnak anyaga van (fém, nejlon), amelynek paraméterei (sűrűsége, tömege, stb. az előzőek értelmében meghatározhatók), a vastagsága nem nulla, és ami nem lényegtelen: nem egy síkban rezeg ám, hanem térben, ugyanis kicsit föl is emelkedik és le is süllyed. A megpendített húr számos harmonikus és nemharmonikus frekvencián rezeg, hiszen a nyúlás miatt változnak a hosszából adódó frekvenciák. A hosszváltozás része a modellnek. Annak következtében, hogy a húrlábon keresztül kapcsolódik a gitár testéhez, a többi húrt is rezgésbe hozza, tehát mindig az összes húrt egyszerre kell modellezni. A gitártest anyagának a paraméterei is meghatározhatók, a test geometriai adatai is megadhatók, s a modellből majd következik, hogy mely frekvenciákon erősít vagy gyengít a test. Mivel a hallhatóságnak fiziológiai korlátai vannak, még nagyon igényes modellezés esetén sem valószínű, hogy a 100 kHz fölötti összetevőkre gondolni kéne. Hangsúlyozom, hogy a fizikai modellezés során nem frekvenciákat adunk meg, hanem a gitár szerkezetét írjuk le, s e leírásból számolja ki a szintézis a frekvenciákat és egyéb jellemzőket.

Mivel elekroakusztikus gitárról van szó, a húrok – vagy a gitár egészének – rezgéseit hangszedők (lásd a sorozat 118., 119. és 120. részét) alakítják elektromos jelekké. Az elektromos jel alakja, illetve annak változása elektromágneses hangszedő esetén a hangszedő saját paraméterein kívül attól függ, hogy a húr milyen pályát ír le a hangszedő előtt.

Elektromos és mágneses paraméterei alapján a hangszedők is modellezhetők. Sőt, azt is megtehetjük, hogy nem is egyfajta hangszedőt modellezünk, hanem többet, akár nagyon sokat is. Olyannyira, hogy gyártanak hibrid gitárokat, amelyekben ténylegesen egyfajta hangszedő van csupán, de ennek a jelét fizikai modellezéssel többféle hangszedőre jellemzővé alakítják át, s e virtuális hangszedők átkapcsolhatók. A következő példában szereplő gitárban ugyan kétféle hangszedő van, s a fő hangszedő piezoelektromos, de a második, elektromágneses hangszedő csak tartalékként szolgál, hogy ha a modellező lánc valamiért megszakadna, leállás nélkül lehessen folytatni a koncertet.

A húr a valóságban először valamilyen ellipszis alakú pályát ír le, ahol az ellipszis középpontja a húr nyugalmi helyzete, majd fokozatosan áll be az ellipszis hosszabb átlójának megfelelő egyenes pályára. Legtöbbször ez az egyenes pálya sem párhuzamos vagy merőleges a hangszedőre. Ez bonyolítja a helyzetet, mivel a mágnes tere durva közelítéssel is csak a húrral párhuzamosan tekinthető egyenletesnek. A húr-hangszedő távolság az elmozdulás közben folyamatosan változik, ezzel a húr és a hangszedő közötti mágneses ellenállás is folyamatosan változik. A nehezen leírható mozgás és a hangszedő terének egyenetlensége miatt a húr kitérése és a hangszedő tekercsének kimenetén keletkező feszültség közötti kapcsolat nemlineáris. A nemlinearitás mértéke a húr amplitúdójának növekedésével növekszik.

A hangszedő terének méretei miatt e térnek a húrral párhuzamos hosszánál rövidebb hullámhosszú felharmonikusok a mágneses tér szimmetriájának következtében jóval kisebbek lesznek, vagy teljesen kiátlagolódnak. Ennek következtében a hangszedő aluláteresztő szűrőként működik, amelynek vágási frekvenciája mindegyik húrra különböző. Erről a jelenségről egy magyar diplomatervben olvastam először, de a neten nem derült ki, ki volt a derék felfedező. Ugyancsak ő bizonyítja be, hogy a hangszedő kimenő jelének amplitúdója nem a húr kitérésétől, hanem a húr sebességétől függ.

A gitár elektronikájának további részeit úgy modellezhetjük, hogy az adott egységek kapcsolásában szereplő összes alkatrész paramétereit megadjuk a modellben, aztán pedig ezeket a kapcsolási rajz és a szerelési rajz szerint csatoljuk egymáshoz. Ha a modell jó, akkor a modellt „bekapcsolva”, tehát modellezve, hogy áram alá helyeztük, úgy fog szólni a virtuális elektronika, mint az eredeti. Vagyis csak majdnem úgy, hiszen egy digitális cucc elvileg sem szólhat úgy, mint egy analóg, gyakorlatilag meg kiváltképp nem. Sőt, egy digitális elektronika digitális modellezése is hangzásbeli eltéréseket mutat. Ha nem így lenne, akkor a digitális vasak és ezek számítógépes bővítmény-változatai ugyanúgy szólnának, márpedig nem szólnak ugyanúgy. Hozzáteszem még, hogy az áramkörök modellezéséhez nemcsak a jelutak és vezérlések modellezése, hanem a tápegységeké is hozzátartozik, hiszen a táp is hat a többi áramkörre. Nem mindig csinálják ezt ennyire részletesen, de az igazán profi modellek ilyenek. A paraméterek a hangsugárzók esetén nemcsak elektromosak, hanem mechanikusak is. Tehát a hangládák dobozának anyagait, illetve annak tulajdonságait is lehet modellezni csakúgy, mint a hangszórók elhelyezkedését a ládában és a típus jellemzőit. Még tovább cifrázva a dolgot, a hangsugárzó és a gitár össze is gerjedhet, de hogy milyen eset(ek)ben, ahhoz az(oka)t a helyisége(ke)t is modellezni kéne, amely(ek)ben a rendszer megszólalhat, ideértve a hangsugárzó és a gitár egymáshoz viszonyított helyzetét.